\chapter*{Úvod}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Úvod}
V dnešní době moderní matematiky převládá snaha zkoumat problémy v co možná nejobecnější formě. Zvlášť obory, jako je algebra, kombinatorika nebo teoretická informatika jsou vystavěny na abstraktních pojmech a definicích a člověk potom jen těžko pozná, na jaké konkrétní problémy se daná teorie vztahuje nebo jaké má aplikace. Tento problém se však netýká pouze přímého využití v praxi. Velice často se zjišťuje, že dva pojmy, které spolu nemají zdánlivě mnoho společného, dávají dohromady velice zajímavé a důležité výsledky, kterých by se jinak dosahovalo velice složitě. Jedním s těchto případů je využití relace dobré předuspořádání v teorii formálních jazyků. 

Jedním z hlavních problémů zkoumaných v teorii formálních jazyků je otázka, za jakých podmínek je daný jazyk regulární. Regulární jazyk je definován jako množina popsaná nějakým regulárním výrazem, regulární gramatikou nebo konečným automatem. Spojitost těchto pojmů se vysvětluje v základních kurzech formálních jazyků\cite{1}. Ukazuje se tak výhoda, kterou je zkoumaní jednoho pojmu pomocí různých přístupů. Regulární jazyky mají mnoho zajimavých vlastností, jako je například uzavřenost na množinové booleovské operace, zřetězení, Kleeneho hvězdičku nebo homomorfismy. Co se však může zdát jako složitý problém, má mnohdy jednoduché řešení při využití jiného přístupu. 

Jedním ze základních výsledků formálních jazyků je Nerodova věta, která popisuje regulární jazyky jako množiny vyplněné třídami nějaké kongruence (monotónní ekvivalence) konečného indexu. Tento výsledek je vlastě snaha o algebraický popis faktu, že je daný jazyk rozpoznáván konečným automatem. Třídy ekvivalentních slov totiž odpovídají stavům daného automatu. Tento výsledek se dá ovšem zobecnit a místo relace ekvivalence se uvažuje obecnější relace předuspořádání. Ukazuje se, že v případě předuspořádání se podmínka na konečnost dá nahradit slabší podmínkou, aby předuspořádání bylo dobré\cite{2}. 

Dalším z formalismů studovaných teorií formálních jazyků jsou přepisovací systémy, anglicky někdy označované jako semi-Thue systems. Ty indukují na množině všech slov předuspořádání a nabízí se proto otázka, za jakých podmínek je toto předuspořádání dobré. V takových případech jsou jazyky uzavřené na tento přepisovací systém regulární. Ukážeme si několik tříd přepisovacích systémů, které tuto podmínku splňují.

Na závěr této práce si ukážeme, jak se dají popsané výsledky využít při řešení nerovnic, ve kterých jsou konstanty i proměnné jazyky. V této části budeme převážně čerpat z \cite{3}.

\cleardoublepage

